Формулы производных сложных функций таблица полная


Формулы производных сложных функций таблица полная сложных функций нескольких переменных Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь на и будьте в курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Производные сложных функций нескольких переменных Возможно, название этой статьи вас озадачит. И в самом деле — ведь на предыдущих уроках и мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением: В общем случае сложная функция имеет видгде, по меньшей мере, одна из букв представляет собой функцию, которая может зависеть от произвольного количества переменных. Минимальный и самый простой вариант — это давно знакомая сложная функция одной переменной, мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете взгляните на те же функции. Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай. По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных: Пример 1 Дана сложная функциягде. Требуется: 1 найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка; 2 вычислить значение производной при. Решение: во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, формулы производных сложных функций таблица полная от икоторые в свою очередь являются функциями одной переменной: Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание — формулы производных сложных функций таблица полная нас требуется найти производнУЮ, то есть, речь идёт вовсе не о частных производныхкоторые мы привыкли находить! Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная. Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановкумы получаем лишь частную информациюкоторая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это формулы производных сложных функций таблица полная функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта! Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы: Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных — в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным в записи: производные с прямыми значками «дэ» — это полные производные, а производные с округлыми значками — это частные производные. С последних и начнём: Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно: Подставим формулы производных сложных функций таблица полная производные в нашу формулу: Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным и тому дано объяснение выше! Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим в найденную производную и проведём упрощения: на последнем шаге использованыВ результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения. Вычислим производную в точке. Сначала удобно выяснить «транзитные» значения значения функций : Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно формулы производных сложных функций таблица полная по-разному. Формулы производных сложных функций таблица полная интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по формулы производных сложных функций таблица полная, а преобразуются как частное двух чисел: И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи : Ответ: Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде: «Найти производную функциигде » То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» формулы производных сложных функций таблица полная конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле: Более того, условие могут немного подшифровать: «Найти производную функции » В этом случае нужно самостоятельно обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через и воспользоваться той же формулой: К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса: 1 От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций «у» и «вэ». В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса». Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче! Краткое решение и ответ в конце урока. Дополнительные примеры по первому виду можно найти в ИДЗ 10. Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант — как правило, функцию вида либо. Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования — придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки: Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо…. Сначала найдём частные производные «главной» функции: Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»: и записываем итоговую «иксовую» производную: Аналогично с «игреком»: и Можно придерживаться и формулы производных сложных функций таблица полная стиля — сразу найти все «хвосты» и потом записать обе производные. Хотя, опять же, зачем? Если потребуется, то тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика: Такой вот. Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде — на понимание самой формулы ;- : Пример 5 Формулы производных сложных функций таблица полная частные производные функциигде И посложнее — с подключением техники дифференцирования: Пример 6 Найти полный дифференциал функциигде Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» — все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию ответив на 2 вопроса — см. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются : Шутка. Пример 7 Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функциигде Решение: «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных — «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами: И снова — внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо. Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций: Справится первоклассник: И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный: Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию — чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи. Формулы производных сложных функций таблица полная Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например: Здесь «главная» функция хоть имеет видно всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы — просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вродеу которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной. Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока: Пример 8 Найти полный дифференциал сложной функции в точке Решение: условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант: Во «вкладышах» присутствуют ВНИМАНИЕ! ТРИ буквы — старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в видеи частные производные в этом случае определяются следующими формулами: Сканируем, вникаем, улавливаем…. В нашей задаче: Таким образом: Теперь вспоминаем формулу. Полный дифференциал в точке имеет вид. Вычислим частные производные в данной точке: Следует отметить, что слово «вычислить» здесь прозвучало в известной степени условно, поскольку нам не известна ни «главная» функция ни её производные. Но символически всё отражено! Так, например, запись означает, что мы подставили координаты точки «эм» в производную и получили некоторое число. Искомый дифференциал в точке: Концовку решения можно оформить и другим способом — сначала записать полный дифференциал в общем виде: и только на последнем шаге подставить координаты точки в нужные места: Ответ: Вот и всё! А показалось, наверное, поначалу чем-то невообразимо страшным. Для самостоятельного решения: Пример 9 Найти полный дифференциал сложной функции в точке На том, пожалуй, и завершим. Функции бОльшей размерности лично мне не встречались, но если вам таки доведётся столкнуться с «олимпиадным» примером, то, думаю, многие без особого труда распишут и более забористые производные, благо, принцип их нахождения прослеживается очень чётко. Решения и ответы: Пример 2: Решение: используем формулу. В данном случае: Ответ : Пример 3: Решение: используем формулу В данной задаче: Таким образом: Вычислим производную при : В результате: Ответ : Пример 5: Решение: используем формулы: В данном случае: Ответ : Пример 6: Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка: В данной задаче: Таким образом: Составим полный дифференциал: Ответ : Пример 9: Решение: обозначим Найдём частные производные 1-го порядка: В данном случае: Таким образом: Составим полный дифференциал 1-го порядка: Найдём полный дифференциал в точке : Ответ: Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.

Смотрите также:



Коментарии:

  • Дополнительные материалы по теме: Формулы производных сложных функций.